Rationale Zahlen

1. Definition

Die Menge heißt Menge der ganzen Zahlen.

Die Menge heißt Menge der rationalen Zahlen.

heißt positiv, wenn x > 0 gilt und
negativ, wenn x < 0 gilt.

Auf der Zahlengeraden liegen die positiven Zahlen rechts von der Null und die negativen Zahlen links von der Null.

Von zwei rationalen Zahlen x, y heißt

• x größer als y, wenn x - y > 0 gilt
  x liegt dann auf der Zahlengeraden rechts von y.
• x kleiner als y, wenn x - y < 0 gilt.
  x liegt dann auf der Zahlengeraden links von y.

Merke Für alle gilt:  0 – x = –x –(–x) = x (–1) • x = –x   Insbesondere: -0 = +0 = 0 und 1 und (-1) • (-1) = 1. Für alle x, y  gilt: x + (–y) = x – y x – (+y) = x – y x – (–y) = x + y

3. Beispiele

a)	5 + (–7)	=	5 – 7	=	–2	b)	5 – (+7)	=	5 – 7	=	–2
c)	5 – (–7)	=	5 + 7	=	12	d)	–5 + (–7)	=	–5 – 7	=	–12
e)	–5 – (+7)	=	–5 – 7	=	–12	f)	–5 – (–7)	=	–5 + 7	=	2

Merke Für alle x, y , y  0 gilt:  (-x) • y = – (x • y) (–x) : y = – (x : y) x • (–y) = – (x • y) x : (–y) = – (x : y) (-x) • (–y) = x • y (-x) : (–y) = x : y   Für alle und alle  gilt Insbesondere:

Merke Das Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen folgt einer einfachen Regel: ( + ) · ( + ) = ( + ) ( + ) : ( + ) = ( + ) ( – ) · ( – ) = ( + ) ( – ) : ( – ) = ( + ) ( + ) · ( – ) = ( – ) ( + ) : ( – ) = ( – ) ( – ) · ( + ) = ( – ) ( – ) : ( + ) = ( – )

Beispiele

(-3 - 7) • (-4 - (-6)) : (-2 - 3) = (-10) • (-4 + 6) : (-5)

= (-10) • 2 : (-5)

= (-20) : (-5)

= 4
 

(-10) • (-1) : ((2 - 7) : (5 - 3)) = 10 : ((-5) : 2)

 
Definition

Der Abstand einer rationalen Zahl x von der Zahl Null heißt Betrag von x, geschrieben IxI.
Es gilt: |0| = 0 ,  |1| = 1 ,  |-1| = 1

Merke Für alle x, y, z gilt das so genannte Distributivgesetz: x • (y + z) = x • y + x • z x • (y - z) = x • y - x • z

Merke Eine rationale Zahl der Form heißt Bruch (oder Bruchzahl). a heißt Zähler, b heißt Nenner. Für alle und alle gilt: a : b =   Insbesondere:

 
Konkret heißt das

• Ein Bruch der Form heißt Stammbruch.

• Brüche der Form bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist, heißen echte Brüche.

• Umgekehrt heißen Brüche der Form  bei denen der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, unechte Brüche.

• Brüche der Form bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, heißen Scheinbrüche.

Anmerkung
Ein unechter Bruch, der kein Scheinbruch ist, lässt sich als so genannte gemischte Zahl darstellen.

Beispiel

Merke Die gemischte Zahl  darf nicht mit dem Produkt   verwechselt werden.

 
Konkret heißt das:

Die Umformung  heißt Erweitern des Bruches mit 5.
Entsprechend heißt die Umformung Kürzen des Bruches  mit 5.
Beim Erweitern und beim kürzen bleibt der Wert des Bruches gleich, lediglich die Form des Bruches ändert sich.

Merke Für alle a  und alle b, c, d  gilt:

Beispiel

Merke Brüche mit dem Nenner 10 oder 100 oder 1000 oder 10000... lassen sich als so genannte Dezimalzahlen schreiben. Es gilt: Anmerkung: Mit Dezimalzahlen wird auf jeden Fall dann richtig gerechnet, wenn sie in "normale" Brüche umgewandelt werden.

Beispiel